Карл Фридрих Гаусс
Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Карл Гаусс в 1831 году.
Итак, комплексные числа были введены в связи со следующей задачей, что действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение. Напомним, что квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
Не имеют корней;
Имеют ровно один корень;
Имеют два различных корня.
К понятию комплексного числа привело стремление решить уравнение
x2 +1 = 0 и извлечь корень из отрицательного числа.
Наряду с алгебраической формой z = x + i y комплексного числа рассмотрим
еще две формы записи.
Тригонометрической формой комплексного числа , не равного нулю, называется запись  где  /z/— модуль комплексного числа, /φ/ — аргумент комплексного числа.
И комплексное число  можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме: z=reiφ.
Ввиду того, что традиционно символ i в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой j, но принципиальной разницы нет как обозначать — j или i. Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен – i = 1, то есть i2 = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a.
Сразу заметим, что арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Действительные числа (см. рис. ниже) – это и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число.
Сложение и вычитание комплексных чисел происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi. Равенство z · = a2 + b2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:
Напомним, чтобы всё было сразу понятно, если вмести нам вспомнить из школьной программы, то в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита. Например:
A={0,5,6,−9},B={Δ,+,−5,0}.A={0,5,6,−9},B={Δ,+,−5,0}.
Нас интересует следующие обозначение:
- N– множество всех натуральных чисел;
- Z– множество целых чисел;
- Q– множество рациональных чисел;
- J– множество иррациональных чисел;
- R– множество действительных чисел;
- C– множество комплексных чисел.
Пример: обозначенияг на графике см. Рис.(обозначение буквой R множество действительных чисел).
Теперь пора вернутся как говорится «к нашим баранам», т.е. к комплексным числам, на графике обозначают, как уже отмечалось выше буквой C, ниже примеры графиков:
Продолжение о комплексных числах смотрите в разделе лекции тоэ с решением:
2.5. Основные сведения о комплексных числах
2.6. Представление синусоидальных функций времени комплексными числами
Для мобильных приложений ссылка → меню сайта
