2.6. Представление синусоидальных функций времени комплексными числами
В предыдущем разделе (2.5. Основные сведения о комплексных числах) дана краткая информация о комплексных числах, но если Вы забрались в этот раздел и изучать профессионально курс теории основ электротехники, то тогда стоит расширить представление о комплексных числах в синусоидальных функций времени, тем более, что именно в электротехнике они применяются как основной расчет цепей переменного тока (напряжения) с использованием действующих значений величин.
При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета, или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам. Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше, однако комплексные числа можно сравнивать на равно не равно.
В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».
Я думаю, что достаточно, ну или как смог, объяснил представление о комплексных числах и не пытайтесь, представить комплексное число «в натуре» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение вместо нашего обычного трехмерного, и так, комплексное число — это мнимая единица, квадрат которого равен −1 (минус единице) и обозначается как латинская i или j, обозначение через радикал как √-1. И главное, не путайте комплексные числа с комплексными обедами.
Напомним, что при расчете электрических цепей часто приходится складывать или вычитать величины токов или напряжений, являющиеся синусоидальными функциями времени. Графические построения или тригонометрические преобразования в этом случае могут оказаться слишком громоздкими.
Задача упрощается, если представить наши синусоидальные функции в векторной форме. Имеем синусоидальную функцию i = Im . sin (ωt + φ). Известно, что проекция отрезка, вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью, на любую линию, проведенную в плоскости вращения, изменяется по синусоидальному закону.
Пусть отрезок прямой длиной Im начинает вращаться вокруг оси 0 из положения, когда он образует с горизонтальной осью угол φ, и вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ωα = Im . sinφ. Проекция отрезка на вертикальную ось в начальный момент времени 0. Когда отрезок повернется на угол α1, проекция его 
Откладывая углы α1, α2, … на горизонтальной оси, а проекции отрезка прямой — на вертикальной оси, получим ряд точек синусоиды (см. рис. ниже).
Пусть даны два синусоидальных тока: и
Нужно сложить эти токи и получить результирующий ток:
Представим синусоидальные токи i1 и i2 в виде двух радиус — векторов, длина которых равна в соответствующем масштабе I1m и I2m. Эти векторы расположены в начальный момент времени под углами φ1 и φ2 относительно горизонтальной оси. Сложим геометрически отрезки I1m и I2m. Получим отрезок, длина которого равна амплитудному значению результирующего тока I3m. Отрезок расположен под углом φ3 относительно горизонтальной оси. Все три отрезка вращаются вокруг оси 0 с постоянной угловой скоростью ω. Проекции отрезков на вертикальную ось изменяются по синусоидальному закону. Будучи остановленными для рассмотрения, данные отрезки образуют векторную диаграмму (см. рис. ниже).
Отметим, что напряжение, ток и ЭДС — это скалярные, а не векторные величины.
Мы представляем их на векторной диаграмме в виде не пространственных, а временных радиус — векторов, вращающихся с одинаковой угловой скоростью.
Изображать на векторной диаграмме два вектора, вращающихся с различной угловой скоростью, бессмысленно.
Положительным считается направление вращения векторов против часовой стрелки.
Векторные диаграммы используются для качественного анализа электрических цепей, а также при решении некоторых электротехнических задач.
При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам. Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:
где с — модуль комплексного числа;
φ- аргумент;
a — вещественная часть комплексного числа;
b — мнимая часть;
j — мнимая единица, j = √-1.
С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.
От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:
Комплексное число может быть представлено в виде радиус — вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной модулю c, расположен в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (см. рис.). Умножим комплексное число на множитель e jβ.
Радиус — вектор на комплексной плоскости повернется на угол β. Множитель e jβ называется поворотным.
Если β=ω•t, то вектор, умноженный на ejωt, превратится во вращающийся со скоростью ω радиус — вектор.
Выражение:
называется комплексной функцией времени.
Применительно к напряжению, получим 
— комплексную функцию времени для напряжения.
— комплексная амплитуда напряжения (исходное положение вектора в комплексной плоскости). Определим, чему равна мнимая часть комплексной функции времени для напряжения.
Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.
Напомним. В электротехнике над символами, изображающими комплексные напряжения, токи, ЭДС, принято ставить точку:
Комплексная мощность обозначается буквой S с волнистым значком (тильда) над ней.
Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.
Пример решения:
Сложение синусоидальных токов заменим сложением комплексных амплитуд, соответствующих этим токам.
Амплитуда результирующего тока I3m=4,96 A, начальная фаза — φ3=36,2°.
Мгновенное значение результирующего тока — t3=4.96·sin(314·t+36.2)A.
Для мобильных приложений ссылка → меню сайта
