Часть III. Цепи синусоидального тока

Тема 3. Цепи синусоидального тока

1. Общие сведения и определения
2. Комплексная амплитуда
3. Действующие значения синусоидальной функции
4. Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная диаграмма
5. Изображение синусоидальной функции комплексными числами
6. Закон Ома в комплексной форме
7. Уравнения элементов в комплексной форме

• §  3.1. Общие сведения и определения:

Переменный ток имеет большее распространение, чем постоянный.

Объясняют это:

• конструкция электродвигателей и генераторов переменного тока гораздо проще;
• генераторы переменного тока могут быть выполнены для более высокого напряжения;
• переменный ток легко преобразовывается  с помощью трансформатора, что необходимо при распределении электроэнергии и т.д.

Переменный ток – ток, периодически меняющий свое значение и направление. Наибольшее значение переменного тока – его амплитуда.

Переменный ток характеризуется:

• амплитудой;
• периодом;
• частотой;
• фазой.

Амплитуда – наибольшие (положительные или отрицательные) величины.

Период – время, в течение которого происходит полное колебание тока в проводнике.

Частота – обратно периоду.

Фаза – характеризует состояние переменного тока в любой момент времени.

Основным видом переменного тока является синусоидальный (гармонический) ток. Закон изменения такого тока описывается синусоидальной функцией.

В линейных электрических цепях, в которых действуют синусоидальные источники, все электрические параметры изменяются по синусоидальному закону.

ЭДС:                              .

Напряжение:            .

Ток:                                ;

где:

                      e(t), u(t), i(t)   – мгновенные значения;

                  ε_m,U_m,I_m      – амплитуды;

                      (ωt + ψ)  –  фаза, [рад];

                        ω = 2π   –  угловая частота, [рад/с];

                         ƒ = 1Т  – циклическая частота, [Гц];

                                  Т  –  период, [с];

             ψ_e, ψ_u, ψ_i   – начальная фаза, [рад].

Любую синусоидальную функцию можно изобразить в виде графика, который называется графиком временных значений или временной диаграммой.

• §  3.2. Комплексная амплитуда:

    Расчет цепей синусоидального тока с использованием мгновенных значений требует громоздкой вычислительной работы и применим для простейших электрических цепей.

     Для расчета цепей синусоидального тока синусоидальную функцию заменяют  эквивалентной величиной.

где  j = √ — 1 – мнимая единица.

         – комплексная амплитуда.

   – сопряженная комплексная амплитуда.

                 – поворотный множитель.

     Последняя запись означает, что синусоидальное напряжение можно представить на комплексной плоскости в виде двух векторов, длина которых равна  U_m и которые равномерно вращаются со скоростями, равными  ω в противоположные стороны.

• §  3.3. Действующие значения синусоидальной функции:

Действующее значение синусоидальной функции – ее количественная оценка.

Действующие значения – среднеквадратичные за период значения синусоидальной функции, то есть, если:

то действующее значение:

Аналогично и для  тока I  и ЭДС ε.

Часто используются выражения, связывающие между собой амплитуду и действующее значение:

      Действующее значение – это постоянная величина, которую обычно обозначают той же буквой, что и амплитуду, только без индекса  m.

      Действующее значение тока оказывает такое же тепловое действие на проводник с сопротивлением R, что и переменный ток, в течение времени, равном периоду. Поэтому большинство электроизмерительных приборов фиксируют и реагируют на действующие значения.

• §  3.4. Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная диаграмма:

где  a – проекция вектора на ось y в момент времени t.

При:

      рис. а                                                               рис. б

    Любому равномерно вращающемуся радиус-вектору соответствует некоторая синусоидальная функция, и наоборот.

    Посмотрим, как условный графический образ синусоидальной функции – радиус-вектор – может быть применим при расчетах цепей переменного тока. Определим ток:

i = i₁ +  i₂,

если:                            и       .

    Как известно, сумма двух синусоид одинаковой частоты ω представляет собой также синусоиду частотой ω, то есть i = I_msin(ωt + ψ)  и, следовательно, задача сводится к нахождению амплитуды I_m и начальной фазы Ψ суммарного тока i. Искомые параметры I_m  и Ψ  можно найти, воспользовавшись известными тригонометрическими преобразованиями.

    Проведем решение задачи с помощью радиус-векторов I_1m  и I_2m , вращающихся с частотой ω, положение которых для момента времени  t = 0 показаны на рисунке ниже и осуществим геометрическое суммирование этих радиус-векторов по правилу параллелограмма. Результирующий радиус-вектор I_m  будет вращаться с частотой  ω и является изображением некоторой синусоидальной функцией времени.

    Следовательно,   i = i₁ +  i₂   – геометрическое изображение искомого тока.

   Измерив дугу суммарного радиус-вектора и, зная выбранный масштаб, можно определить амплитуду I_m тока. Непосредственно по чертежу определяется и начальная фаза Ψ.

  Рассмотренная совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой.

• §  3.5. Изображение синусоидальной функции комплексными числами:

     Для введения комплексного изображения перенесем радиус-вектор, изображающий синусоидальную функцию времени в декартовой плоскости на плоскость комплексных чисел. Для чего совместим ось x с осью действительных чисел Re, а ось  y – с Im.

    Любому вектору A, расположенному на комплексной плоскости, однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трех формах:

•    алгебраической:
•    тригонометрической:
•    показательной:   (e – основание натурального логарифма).

Все три формы записи в соответствии с формулой Эйлера равнозначны:

Переход от одной формы записи к другой:

где  a₁  – действительная часть;

a₂  – мнимая часть.

Запишем в трех формах выражение для единичных действительных и мнимых комплексных чисел ( A = 1):

где  с₁ = a₁ + b₁, а с₂ = a₂ + b₂ .

где  C = AB.

Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока называется комплексным сопротивлением:

     Модуль комплексного сопротивления, называемый полным сопротивлением, равен отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока, а аргумент Ψ комплексного сопротивления – разности начальных фаз напряжения и тока:

Закон Ома в комплексной форме соответственно для амплитудных и действительных  значений:

.