2.5. Основные сведения о комплексных числах
Комплексным числом называется выражение вида
(2.6)
где 
– обозначение комплексного числа; a и b – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа; j = √–1 мнимая единица.
Величины a и b часто обозначают следующим образом: a = Re, b = Im. Символы Re и Im – есть начальные буквы английских слов Real – действительный и Imaginary – мнимый.
Геометрически комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости (рис. 2.8). Горизонтальная и вертикальная оси, отмеченные соответственно знаками + и +j, называются действительной (или вещественной) и мнимой. Действительная и мнимая составляющие комплексного числа представляют собой проекции вектора на эти оси. На рис. 2.8 с =//– модуль комплексного числа, равный длине вектора, а a = arg – аргумент комплексного числа. Так как а = c cosa, а
b = c sina, то = c (cosa + j sina) – тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера 
последняя преобразуется в показательную форму 
. Применяется еще и полярная форма 
в самой простой форме задающая модуль и аргумент комплексного числа.
Свойства мнимой единицы (рис. 2.9):
Два комплексных числа и 
называются сопряженными, если они имеют одинаковые модули и равные по величине, но разные по знаку аргументы (рис. 2.10):
Изображающие их векторы симметричны относительно вещественной оси.
Действия над комплексными числами.
Сложение и вычитание производится над числами, записанными в алгебраической форме:
т.е. складываются по отдельности вещественные и мнимые части слагаемых: а = а1+а2, b = b1+b2. Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение изображающих их векторов. Сумма сопряженных комплексных чисел равна удвоенному значению вещественной части:
Умножение и деление комплексных чисел удобнее всего производить в показательной форме. Модули при этом перемножаются или делятся, а аргументы складываются или вычитаются:
(2.7)
где с = с1/с2, a=a1–a2 .
Далее перемножем комплексные чисела с векторами.
Изобразим на комплексной плоскости два вектора:
Изобразим на комплексной плоскости два вектора: 1 – первый сомножитель и – результирующий (рис. 2.11). Последний получается умножением 1 на комплексное число с2е ja2. На рис. 2.11 мы видим, что при умножении длина вектора возросла в с2 раз, а аргумент увеличился на a2.
Рассматривая комплексное число как вектор, мы приходим к следующему выводу.
При умножении вектора на комплексное число ае ja, вектор растягивается в а раз и 
поворачивается на угол a. Так как 
, то при умножении вектора на ± j он
поворачивается на угол ± 90° (рис. 2.12).
Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа:
В случаях умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме, перемножение выполняется по правилам умножения многочленов с учетом того, что j2 = -1:
Для мобильных приложений ссылка → меню сайта
